Теория к ЕГЭ по профильной математике

В прямоугольном треугольнике: $\sin A=\frac{BC}{AB}$, $\cos A=\frac{AC}{AB}$, $\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}$, $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$. Сумма углов треугольника $180^{\circ }$. Вписанный угол равен половине дуги. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}h$.

Для $\vec{a}(x_1;y_1)$, $\vec{b}(x_2;y_2)$: $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2;y_1+y_2)$, $k\vec{a}=(k{x}_1;k{y}_1)$, $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$, $\cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.

Куб: $V=a^3$, $S=6a^2$. Параллелепипед: $V=abc$, $d^2=a^2+b^2+c^2$. Цилиндр: $V=\pi r^{2}h$. Конус: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Шар: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Если все исходы опыта равновозможны, вероятность события $A$ равна $P(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ — число всех исходов, $m$ — число благоприятных. При $k$ бросках монеты исходов $2^k$, при броске двух костей — $36$.

Для независимых событий $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Для любых событий $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Вероятность противоположного события $P(\bar{A})=1-P(A)$. Формула полной вероятности: сумма вероятностей всех ветвей дерева, ведущих к событию.

Логарифм ${\log }_{a}b$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. Существует при $b>0$, $a>0$, $a\ne 1$. Если ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$, то $f(x)=g(x)$ — но только там, где оба аргумента положительны.

Свойства степеней: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $a^n{b}^n=(ab{)}^n$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^0=1$.

Свойства логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$, ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$, ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$, $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$.

Свойства корней: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, $(\sqrt{a}{)}^2=a$, $\sqrt{a^2}=|a|$. Полезна разность квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $(c{)}^{\prime }=0$. Скорость — производная координаты: $v(t)=x^{\prime }(t)$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f^{\prime }(x_0)$. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

В задании дана формула. Нужно подставить известные величины и выразить неизвестную. Если неизвестная в квадрате — извлеки корень и возьми положительное значение. Если нужно найти промежуток времени — реши неравенство и найди длину промежутка.

Основная формула: $S=v\cdot t$. При движении навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются. По течению реки скорость $v+u$, против течения — $v-u$, где $u$ — скорость течения.

Производительность — доля работы за единицу времени: если работа делается за $t$ часов, производительность $\frac{1}{t}$. При совместной работе производительности складываются: $\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{t}$.

$p\%$ от числа $x$ — это $x\cdot \frac{p}{100}$. Увеличение на $p\%$ — умножение на $1+\frac{p}{100}$, уменьшение — на $1-\frac{p}{100}$. Несколько изменений подряд — перемножение коэффициентов.

Прямая $f(x)=kx+b$: $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с $Oy$. Парабола $f(x)=a(x-x_0{)}^2+y_0$ — вершина $(x_0;y_0)$, ветви вверх при $a>0$. Гипербола $f(x)=\frac{k}{x}+a$ — асимптоты $x=0$ и $y=a$.

Если $f^{\prime }(x)$ меняет знак с «+» на «−» в точке $x_0$, это точка максимума, с «−» на «+» — минимума. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигаются в критических точках внутри отрезка или на его концах.

Если на сумму начисляют $r\%$, она умножается на $q=1+\frac{r}{100}$. Вклад с капитализацией через $n$ лет: $S{q}^n$. Кредит равными платежами $X$ на $n$ лет: $S{q}^n=X(q^{n-1}+\dots +q+1)$. Кредит с равномерным уменьшением долга на $n$ месяцев под $r\%$ в месяц: переплата $=\frac{r}{100}\cdot S\cdot \frac{n+1}{2}$. Несколько процентных изменений подряд перемножаются: $+a\%$ и $-b\%$ дают множитель $\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1-\frac{b}{100}\right)$.